CONSTRUINDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES POLINOMINAIS

Uma função polinomial é uma função de grau n que pode ser escrita na forma p(x) = + + ... + + , onde n é um inteiro não negativo, , e cada é um número real. Toda função polinomial tem um domínio (- , ) e seus gráficos são planos, curvas contínuas sem pontas fechadas.

Analisando Gráficos de Polinômios de Grau Ímpar

em vermelho, em verde, em amarelo.

> plot({x^3,x^5,x^7},x=-4..4,y=-30..30);

Onde as curvas interceptam o eixo x ?

R: x = 0 ou (0, 0).

Descreva as similaridades no gráfico de p(x) = para n = 3, 5, 7.

R: Todas as três curvas passam através do ponto (0, 0) e são funções crescentes.

Como n aumenta (9, 11, 13, ...), use o seguinte gráfico para determinar como o gráfico de p(x) = é afetada.

R: em vermelho, em verde, em amarelo.

> plot({x^9,x^11,x^13},x=-2..2,y=-20..20);

Os gráficos se tornam inclinados mais longe de x = 0 e mais perto de y = 0 .

Onde o x interceptado está posicionado?

R: x = 0 ou (0, 0).

Analise o efeito no gráfico de um polinômio de grau ímpar quando o coeficiente principal é - 1.

R: em vermelho, em verde, em amarelo.

> plot({-x^3,-x^5,-x^7},x=-2..2,y=-20..20);

Em geral, quais conclusões podem ser desenhadas em gráficos de polinomios de grau ímpar com coeficiente principal - 1?

R: São funções decrescentes.

Examine o polinômio cúbico definido e construa o gráfico abaixo.

> plot(x^3-2*x^2-3*x-1,x=-3..4,x=-10..10);

Em que caminho este gráfico é similar ao gráfico de ?

R: Como o valor de x aumenta em - , ambas as curvas estão crescendo. Como o valor de x aproxima-se de , ambas as curvas estão crescendo.

Considere as duas equações polinomiais construídas abaixo.

em verde.

em vermelho.

> plot({-x^5+36*x^3-22*x^2-147*x-90,2*x^5-5*x^4+x^3-80*x^2+13*x+60},x=-10..10,y=-1500..500);

Explique como o sinal do coeficiente afeta o gráfico.

R: Se o sinal do coeficiente de uma função polinomial de potência ímpar é positiva, a curva inicialmente está decrescendo. Se o sinal do coeficiente de uma função polinomial de potência ímpar é negativo, a curva inicialmente está crescendo.

Ambos os gráficos tem ponto máximo e valor (extremo). Explique como você pode prevêr na equação onde o extremo existe.

R: Se a curva muda de decrescente a crescente ou vice versa, o extremo irá existir. Desde que o extremo ocorra no ponto máximo e no valor, observe-os no gráfico.

Analisando Gráficos de Funções Polinomiais Pares

Examine o gráfico das seguintes funções polinomiais pares.

em verde, em vermelho, em amarelo.

> plot({x^2,x^4,x^6},x=-3..3,y=-0..10);

Onde o x interceptado está posicionado?

R: x = 0 ou (0, 0).

Descreva as similaridades entre os gráficos de p(x) = para n = 2, 4, 6.

R: Todas estas curvas passam no ponto (0,0) e abrem acima.

Como n aumenta (8, 10, 12, ...), como o gráfico de p(x) = foi afetado?

R: em verde, em vermelho, em amarelo.

> plot({x^8,x^10,x^12},x=-3..3,y=-0..10);

O gráfico se torna mais estreito.

Analise o efeito no gráfico de uma equação polinomial de grau par quando o coeficiente é - 1.

R: em vermelho, em verde, em amarelo.

> plot({-x^2,-x^4,-x^6},x=-3..3,y=-8..0);

Onde o x interceptado está posicionado?

R: x = 0 ou (0, 0).

Em geral, quais conclusões podem ser desenhadas de gráficos polinomiais de grau par com coeficiente - 1?

R: Irão abrir para baixo.

Considere o gráfico abaixo.

> plot(x^4-2*x^2+1,x=-3..3,y=-2..7);

Descreva a forma geral da curva.

R: W.

Quantos zeros ( x interceptado) existem?

R: 2.

Quais são os zeros dessa função quártica?

R: -1 e 1.

O gráfico de outra função polinomial quártica é apresentada abaixo:

> plot(-x^4+8*x^3-16*x^2+15,x=-3..7,y=-20..15);

Descreva a forma geral da curva.

R: M.

Quantos zeros ( x interceptados) existem?

R: 4.

Aprofundando seus Conhecimentos

Explique onde as seguintes declarações são verdadeiras ou falsas.

- O número máximo da local extrema do gráfico de uma função polinomial de grau n é n - 1 .

R: Verdadeiro:
Uma função linear não tem nada; uma função quadrática tem um; uma função cúbica tem no máximo dois; etc.

- Uma função polinomial de grau n irá ter um máximo de n x interceptados.

R: Verdadeiro:
Desde que o grau de um polinômio indique o número de zeros reais e não reais e que os zeros estejam posicionados no eixo x , uma função polinomial pode incluir n x interceptados.

- Uma função polinomial par deve ter no mínimo um zero real.

R: Falso:
Todos os zeros podem ser não reais desde que a solução não real ocorra em pares.

- Uma função polinomial de quinto grau não pode ter um único zero real.

R: Falso:
Ela pode ter um zero real e quatro zeros não reais.

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